Творча лабораторія вчителя Сівачової Н.М.

Зображення користувача Irina.

У творчій лабораторії вчителя математики Сівачової Наталії Миколаївни щироко вивчено поння інваріанта. Фрагменти ціїє робти представляємо для практичного використання вчителів.

Що є інваріантом. «Магічні квадрати» як графічний приклад інваріантів

              Інваріант - число, вираз тощо, які пов'язані з деяким математичним об'єктом і не змінюються при певних перетвореннях. Наприклад, віддаль між двома точками площини є інваріантом при перенесенні або повертанні системи координат; площа будь-якої фігури, кут між двома прямими - інваріанти руху. Похідний термін - інваріантність - властивість системи не змінювати своїх характеристик при перетвореннях.
Задачі на інваріанти - це великий шар задач олімпіадної тематики. Розв'язування таких задач - доволі складний процес, для вдалого виконання якого людина повинна вміти думати, аналізувати. Необхідно також досконале знання фактичного матеріалу, володіння загальними підходами до розв'язувння задач, досвід в дослідженні нестандартних задач.
             Не можна не погодитися з висловом відомого амеріканского математика Д. Пойя: «Якщо учень заповнить відведений йому навчальний час тільки стандартними вправами, то він загубить інтерес, загальмує свій розумовий розвиток та втратить свої можливості».
Формуванню досвіду під час розв'язування нестандартних задач на інваріанти присвячені наступні розділи роботи.
             «Магічні квадрати» - це перший інваріант, що зустрічається в позакласних заняттях математикою. Проте слід зазначити, що теорія магічних квадратів ще далека до завершення. Скажемо, що ще не знайдено відповіді на запитання- скільки різних заповнень має квадрат четвертого порядку натуральними числами від 1 до 16 ( не говорячи про заповнення іншими довільними 16 числами).

Загальна задача «магічних» квадратів:
дані числа розставити у клітинках квадрата так, щоб у рядках, стовпцях, діагоналях утворилися однакові суми.
Ми не будемо розглядати утворення похідних «магічних» квадратів четвертого порядку переміщенням стовпців, рядків та поворотом квадрата навколо центра. Дамо вичерпну відповідь на запитання, як заповнити квадрат третього порядку. Умову задачі в загальному вигляді сформулюємо так:
«За трьома заданими числами (назвемо їх базовими) у клітинках квадрата заповнити квадрат так, щоб у рядках, стовпцях, діагоналях утворилися однакові суми. Числа в клітинках квадрата можуть повторюватися( а також можуть бути дробовими чи відємними).
Якщо базові числа задано по діагоналі, то задача вимагає дослідження, а саме: має задача безліч розвязків чи не має жодного. Отже, треба однозначно відповісти на запитання, коли заповнення квадрата єдине, коли має безліч заповнень, а коли заповнення неможливе.

Суть розв'язання полягає в тому, щоб зуміти побачити що на перетині двох ліній, в яких задано три числа, відшукати невідоме, як невідомий член
рівняння. Таким чином роблять до тих пір, доки не стане відома вся сума в рядку, стовпці або по діагоналі.

КЛАСИФІКАЦІЯ ЗАДАЧ НА ІНВАРІАНТИ

Серед розмаїття математичних задач є такі, які можна об'єднати під рубрикою «Задачі на відображення». Їх загальна постановка формулюється так: « Є множина А елементів a, b, c,... довільної природи і множина Х споріднених елементів x. y. z... а також відображення, яке перетворює елементи множини А у подібні їм елементи.
Чи можна, вдаючись до неодноразового перетворення елементів множини А за допомогою відображення , одержати той чи інший елемент з множини Х?
Відповідь у цих задачах коротка - « так» або «ні» Звісно, задача вважається розвязаною, якщо відповідь обгрунтована. Для обгрунтування заперечення часто використовують інваріанти: величини, співвідношення, відповідності тощо - все те, що не змінюється у процесі виконання заданих у задачі перетворень.
Текстові задачі на інваріанти
Якщо заданий елемент або елементи з множини Х не відповідають цим величинам, не володіють співвідношеннями, не справджують відповідності, то ці елементи не можна дістати в результаті перетворення заданих елементів множини А. Збереження інваріантності є лише необхідною умовою досягнення позитивного результату. Інваріанти дають підставу тільки для негативної відповіді.
Визначивши інваріант деякого процессу в багатьох випадках можна зясувати питання про можливість певного результату цього процессу. При цьому рівність інваріанта на початку та наприкінці процесу ще не забеспечує цієї можливості. Тому, як правило, в таких задачах відповідь на це запитання негативна. У ролі інваріанта може застосовуватись парність, залишок від ділення на деяке число та інше.
Поняття інваріантів, їх вибір та застосування розглянемо під час розв'язуванння задач.


Задача 1.
Було 4 аркуші паперу. Деякі з них розірвали на 4 частини, потім деякі з четвертинок знову розірвали на 4 частинки і т.д. Коли полічили загальну отриману кількість клаптиків, то виявилося, що їх 2010. Чи правильно полічили?
Дослідження умови задачі.
Пошук інваріанта.
Якщо постійно рахувати отриману кількість клаптиків після розірвання чергового аркуша, то їх стає: 7, 10, 13, 16, ..., тобто після кожного чергового збільшення клаптиків їх кількість зростає на 3. Але як привязати 2010 до цього зростання? Остача від ділення всіх цих чисел на 3 дорівнює 1 і залишається незмінною, тобто інваріантом. Оскільки остача від ділення 2010 на 3 дорівнює 0, тобто полічили неправильно.
Відповідь: неправильно
У цієї задачі елемент множини А - аркуші паперу, відображення полягає в тому, що розривають аркуш або його частини на 4 частини, а елементами множини Х є кількість утворенних клаптиків паперу.


Сівачова Н.М., вчитель математики.

Збір матеріалів Збір матеріалів
14:47:54|127.0.0.1|localhost|2018-11-14|Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.77 Safari/537.36|178.54.192.159

::